Схематизация свойств материала и принципы сопротивления материалов

   Материалы обладают различными физическими свойствами и структурой.

   Для построения теории сопротивления материалов используют некоторый условный материалом, наделённый определёнными идеализированными свойствами деформирования.

   Соответствие условного материала реальным материалам достигается тем, что в расчет элементов конструкций вводятся экспериментально получаемые усреднённые количественные характеристики механических свойств реальных материалов.

   Для упрощения расчётов используются следующие гипотезы и допущения:

(Эти положения ограниченно применимы к решению конкретных задач - свойства материала могут быть схематизированы различным образом для конкретных задач)

(Это основные допущения, вводимые в статику сооружений те же, с той лишь разницей, что они относятся не к отдельному элементу, а ко всему сооружению в целом)

 

1) Гипотеза сплошности

 

   Гипотеза сплошности предполагает, что материал сплошь заполняет форму тела.

   (Материал представляет собой сплошную среду) (материал непрерывен и полностью заполняет пространство, ограниченное поверхностью тела, без каких-либо пустот).

   Т.е. атомистическая теория дискретного строения вещества, наличие пустот на границах зерен и волокон, микротрещины и т.п. во внимание не принимаются.

   Данная гипотеза позволяет использовать для определения напряжений и деформаций математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления (математический аппарат анализа бесконечно малых величин и особенно возможность предельного перехода).

   Применимость гипотезы сплошности ограничивается относительными размерами детали по сравнению с размерами, характерными для описания структурных особенностей. Так в механике встречаются задачи, постановка которых лежит на пределе применимости гипотезы сплошности - в основном это вопросы развития трещин и задачи усталостной прочности.

   Также данная гипотеза противоречит молекулярному строению вещества и применима лишь до тех пор, пока рассматриваются объекты с размерами, существенно превышающими межатомные расстояния.

 

2) Гипотеза однородности

 

   Гипотеза однородности предполагает, что материал представляет собой однородную среду (независимо от его микроструктуры физико-механические свойства считаются одинаковыми во всех его точках); свойства материала во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров тела.

   Ограничения, налагаемые на приемлемость схемы однородности, те же самые, что и для сплошности, и также связаны с особенностями структуры вещества. Имеются задачи, где это предположение может привести к заметным погрешностям: в частности, задачи определения местных напряжений. Например: для стержня, имеющего острую выточку, область максимальных напряжений при их высокой концентрации может охватить всего несколько кристаллических зерен металла.

 

3) Гипотеза об изотропности материала

 

   Гипотеза об изотропности материала предполагает, что физико-механические свойства материала одинаковы по всем направлениям (в любом направлении) во всех точках тела независимо от его размеров.

   (т.е. предполагается, что упругие и пластические свойства элемента, выделенного из среды, не зависят от его угловой ориентации в пределах этой среды)

   Металлы – поликристаллические тела, состоящие из большого числа зерен, размеры которых очень малы (порядка 0,01 мм). Хотя каждый отдельно взятый кристалл металла анизотропен, но, в объеме, содержащем достаточно большое количество кристаллов (в макрообъеме), вследствие малых размеров кристаллов и их беспорядочного (произвольного) (хаотического) ориентирования (расположения) материал в целом проявляет свойство изотропии (считается изотропным).

   Изотропными являются такие аморфные материалы, как стекло и смолы.

 

   К анизотропным материалам (материалам, обладающим различными свойствами по разным направлениям) относятся древесина, бумага, пластмассы, текстолит, стеклотекстолит, металлы в результате их предварительной обработки (прокатки, вытяжки и наклепа) и т.п.

   Анизотропия может быть структурной (связанной со строением материалов) и конструктивной.

 

4) Гипотеза об идеальной упругости материала

 

   Тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию, вне зависимости от величины нагрузки и температуры тела (после снятия нагрузки все деформации полностью исчезают, т.е. геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются).

 

5) Гипотеза (допущение) о малости деформаций

 

   Гипотеза о малости деформаций предполагает, что деформации (перемещения) в точках тела считаются весьма малыми по сравнению с размерами самого тела, ввиду того, что упругие тела относительно жесткие.

   (В данном случае не только значительно меньше длины, но также высоты и ширины).

   Малые относительные деформации рассматривают как бесконечно малые величины.

   Это позволяет, в большинстве случаев, пренебречь изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных частей тела и составлять уравнения статики для недеформированного тела.

 

6) Гипотеза об идеальной упругости материала (Допущение о справедливости закона Гука)

 

   При напряжениях, не превышающих предела пропорциональности считается справедливым закон Гука, т.е. рассматриваемые тела считаются линейно-деформируемыми - между напряжениями и деформациями принимается линейная зависимость.

      (перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения)

      (форма и размеры тела меняются прямопропорционально изменению нагрузок).

   В пределах упругости имеет место «эффект Пуассона» - отношение относительных поперечных удлинений к относительным продольным удлинениям есть величина постоянная для рассматриваемого материала. Эту упругую константу материалов называют коэффициентом Пуассона.

   В действительности реальное тело в какой-то небольшой степени обнаруживает отступление от свойств совершенной упругости. Наиболее заметно оно проявляется в колебательных процессах и находит свое выражение в рассеянии энергии или в так называемом внутреннем трении материала.

   ОТклонения от идеальной упругости, которые всегда наблюдаются при нагружении реальных тел, несущественны и ими пренебрегают до определённых пределов деформирования.

   Используемые принципы сопротивления материалов:

1) Принцип Сен-Венана

 

   В сечениях, достаточно удалённых от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагружения и определяется только статическим эквивалентом нагрузки. (если совокупность некоторых сил, приложенных к небольшой части поверхности тела, заменить статически эквивалентной системой других сил, то такая замена не вызовет существенных изменений при нагружении частей тела, достаточно удаленных от мест приложения исходной системы сил). Это значит, что при этом следует рассматривать только те части тела, которые достаточно удалены от места приложения нагрузки.

 

2) Принцип независимости и сложения действия сил (принцип суперпозиции)

 

   Данный принцип гласит:

   " Результат воздействия (усилия и деформации) нескольких внешних факторов (внешних сил, температурных воздействий) равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности их приложения, а также от результата действия остальных сил "

 

   Иными словами:

   " Усилия или деформации, вызываемые в сооружении произвольной системой сил равны алгебраической сумме усилий или деформаций, вызываемых каждой из сил в отдельности "

 

   Данный принцип справедлив для линейно деформируемых конструкций (систем).

   Линейно-деформируемая система – система, в которой внутренние усилия, напряжения, деформации и перемещения прямо пропорциональны действующей нагрузке.

   Таким образом, например, дли линейно-деформируемых систем допускается упругую деформацию под действием нескольких сил рассматривать как сумму упругих деформаций от каждой отдельно взятой силы.

   То есть этот принцип можно использовать только если сооружение геометрически неизменяемо, а его деформации ничтожно малы по сравнению с размером сооружения.

   В этом случае перемещения, искажение углов, образованных элементами конструкций, и изменения плеч любого из усилий относительно моментной точки оказываются столь незначительными, что коэффициенты, стоящие при неизвестных усилиях во всех уравнениях статики, остаются постоянными, не зависящими от внешней нагрузки.

   Если неизвестные не могут быть найдены только из уравнений статики (например, деформации или величины, зависящие от них), то кроме геометрической неизменяемости необходимо подчинение материала закону Гука.

   Использование данного принципа в большинстве случаев дает возможность не делать различия между формой сооружения в нагруженном и ненагруженном состояниях при составлении уравнений статики.

   Не распространяется на работу внешних и внутренних сил и на потенциальную энергию.

 

3) Гипотеза Бернулли о плоских сечениях

 

   Поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, вызывающей деформацию, остаются плоскими и нормальными к его оси и после деформации.

 

4) Принцип начальных размеров – является следствием гипотезы о малости деформаций:

   При составлении условий равновесия реального тела, оно может считаться абсолютно твердым.

   Исходя из этой гипотезы деформации в точках тела считаются настолько малыми по сравнению с размерами самого тела, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу и на расстояние от нагрузок до любых точек конструкции.

   Это допущение позволяет пренебрегать при составлении уравнений равновесия деформациями материала (изменениями формы и размеров конструкции), так как деформации рассматриваемых элементов значительно меньше геометрических размеров элементов. В данном случае не только значительно меньше длины, но также высоты и ширины). В действительности же при нагружении форма и размеры тела меняются, следовательно, точки приложения сил и линии их действия тоже меняются. Учет этих напряжений дает поправку в четвертом-пятом знаках результатов расчета, что, обычно, несущественно.

   Для более подробного изучения рекомендую книги А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин "Сопротивление материалов", В.И. Феодосьев "Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов".