Способы решения нелинейных задач (Физическая, геометрическая, конструктивная и генетическая нелинейность)

   О том, что такое физическая, геометрическая, конструктивная и генетическая нелинейность, здесь: https://porebrick.blogspot.com/2021/03/lineinost-i-nelineinost-konstrukcii.html
 

 

   Наиболее общим подходом к решению нелинейных задач является разбитие процесса возведения системы на этапы.

   На каждом из этапов возведения выполняются работы по установке (удалению) отдельных конструктивных элементов или их групп,  регулированию фактических размеров элементов несущих  конструкций, введению (удалению) временных связей, изменению параметров связей системы с внешней системы и т.п., изменяются жесткостые параметры элементов модели и связей и др.

   В основу технологий расчёта, учитывающих указанные выше обстоятельства, положен принцип поэтапного отслеживания изменения основных параметров расчётной модели (геометрии, жесткостных параметров элементов модели и связей, нагружения и деформирования) с замыканием системы на каждом (заранее определённом этапе возведения здания.

   При этом различают суммарное НДС системы, возникающее на каждом этапе монтажа с учётом всех предшествубющих этапов, и приращение НДС, вызванное дополнительными воздействиями на систему, относящимися исключительно к рассматриваемому этапу монтажа.

   При этом для каждой стадии монтажа все расчёты выполняются в преположении справедливости допущений линейной строительной механики, а, в целом, задача становится нелинейной за счёт изменения расчётной схемы при переходе от одного этапа к другому.

 

 

   Простой шаговый метод расчёта нелинейно упругих систем: 

   (как правило, применяется для решения задач физической и геометрической нелинейности)

   Шаговый метод заключается в том, что нелинейно упругую систему нагружают постепенно, малыми порциями нагрузок ΔP, каждый раз получая малые приращения деформаций, внутренних сил и перемещений.

   На этих малых перемещениях с достаточной точностью считают, что система ведёт себя как линейно-упругая с коэффициентами упругости, зависящими от достигнутого уровня напряжений в элементах системы.

   На первом этапе расчёт на нагрузку ΔP ведётся как для обычной линейно упругой системы.
   Таким образом на каждом шаге решается линеаризованная задача (система уравнений для текущего приращения вектора узловых нагрузок, сформированного для конкретного нагружения), и, в предположении, что это решение является достаточно точным, реализуется переход к следующему шагу нагружения.
   Далее деформации, полученные от второго этапа нагружения суммируют с деформациями, полученными от первого этапа и т.д.

   Точность расчёта шаговым методом зависит от количества шагов (размера шагов нагружения) (величина шага).

   Погрешность решения нелинейной задачи, обычно, не контролируется, количество шагов задается пользователем или автоматически.
   При недостаточном количестве шагов замена бесконечно малых шагов конечными может оказаться слишком грубой.
   При очень малых шагах (большом их количестве) может быть уменьшена точность вычислений.

   Особенно чувствительными к величине шага являются геометрически нелинейные задачи.

Алгоритм решения задач с геометрической нелинейностью:

 

1 Создание расчётной схемы
   - задание исходных данных (геометрия, граничные условия, нагрузки, жесткостные параметры)
   - задание КЭ (конечных элементов), учитывающих геометрическую нелинейность

2 Моделирование нелинейных загружений
   Процесс деформирования конструкции разбивается на шаги. Например, в программных комплексах, путем задания количества шагов.

3 Расчёт
   На каждом шаге для элементов вычисляются усилия (напряжения), а для узлов - перемещения

4 Анализ
   При расчёте конструкций важно найти для каждого сечения элемента те сочетания отдельных загружений, которые могут быть наиболее опасными

Алгоритм решения задач с физической нелинейностью:

 

   Для решения физически нелинейных задач шаговым методом необходимо задавать информацию о количестве шагов и коэффициентах к нагрузке. Схема может содержать несколько загружений, из которых допускается формировать последовательность (историю) нагружений.

   Моделирование физической нелинейности (нелинейной упругости) материалов конструкций производится с помощью физически нелинейных конечных элементов.
   Физически нелинейные конечные элементы воспринимают информацию из библиотеки законов деформирования материалов (зависимостей напряжения-деформации) 

 

   Методы расчёта нелинейных систем в ПК Лира 10 (Лира-Софт):

   Нелинейный процессор реализует несколько методов для решения нелинейных задач различных типов:

   - Шаговый метод
      (описание данного метода см. выше)
      (как правило, применяется для решения задач физической и геометрической нелинейности)

   - Метод секущих (метод Биргера)
      (как правило, применяется для решения физически нелинейных задач в режиме "инженерная нелинейность")

   - Итерационный метод (упрощенный метод Ньютона)
      (применяется для решения задач конструктивной нелинейности (односторонние связи) и грунтовых массивов)

   Моделирование физической нелинейности материалов конструкций производится с помощью специальных физически нелинейных конечных элементов, для которых реализована нелинейная зависимость напряжения-деформации.
   Библиотека законов деформирования позволяет учесть практически любые нелинейные свойства материала и её можно пополнять.

      Физически нелинейные расчёты лучше производить с итерационными элементами (для стержней - КЭ тип 510). Итерационные элементы дают намного лучшую сходимость и более сглаженные результаты, чем шаговые элементы (для стержней имеются ввиду КЭ типов 210, 410).
      Шаговые элементы лучше использовать в самых крайних случаях или при решении геометрически нелинейных задач, когда без них вообще не обойтись.

   Нелинейный процессор позволяет получить напряженно-деформированное состояние с учётом нелинейных эффектов как для мономатериальных, так и для биматериальных конструкций.
Для последних предлагается определенный набор характеристик второго материала (армирующих включений).



   Методы расчёта нелинейных систем в SCAD:

   Решение нелинейных задач реализовано в нескольких модификациях шагового метода:

      - Простой шаговый метод
         (описание данного метода см. выше)

      - Шаговый с уточнениями
      Данный вариант предусматривает контроль невязок на каждом шаге и итерационное уточнение нагружения очередного шага за счет учёта невязки в уравнениях равновесия. При этом итерации выполняются с неизменным значением линеаризованной матрицы жесткости, которая была вычислена в начале очередного шага.

      - Шагово-итерационный
      В данном случае производится итерационное уточнение решения на каждом шаге с корректировкой линеаризованной матрицы жесткости на каждой итерации.

 

 

   В ПК Лира-САПР

      В Лира-САПР реализована шаговая (применяется для геометрически и физически нелинейных задач) и итерационная (для решения задач с конструктивной нелинейностью) нелинейность

      В САПФИР 2021 от ПК Лира-САПР можно создавать расчётные схемы для проведения расчётов с учётом физической нелинейности.

      Для этого в свойствах объектов задаются требуемые типы конечных элементов и назначается нелинейный материал.

      (Выбирается опция "наделить нелинейными свойствами", а в свойствах конструкции корректируется параметр "жесткость" и задается, например КЭ 244/241 - физически нелинейный универсальный КЭ оболочки)

      Далее для нелинейного материала следует выбрать (создать) закон нелинейного деформирования и построить диаграмму поведения материалов напряжения-деформации. Данную операцию нужно выполнять для основного и армирующего материалов.

      В библиотеке законов деформирования материалов Лира-САПР существуют кусочно-линейный (14) и экспотенциальные законы деформирования (11,21,31,15,25,35).

   В справочнике Лира-САПР 2021 содержатся данные для заполнения закона деформирования армирующего материала. Чтобы задать армирование конструкции, которое будет учтено в расчёте, можно создать модель армирования в САПФИР - в программе можно выполнить раскладку арматуры, которая будет передана в Визор как заданное армирование.

      Далее в САПФИР 2021 существует возможность задания истории нагружения, чтобы нагрузки прикладывались в определённой последовательности и учитывалась генетическая нелинейность. Историй нагружения может быть несколько

      *До начала формирования истории нагружения, к конструкции уже должны быть приложены все нагрузки и распределены по нагружениям. В свойствах конструкции можно выбрать загружение, в котором будет приложен собственный вес.

      Для вызова диалогового окна создания монтажных стадий в САПФИР, следует нажать на соответствующую кнопку на панели инструментов. Если в этом окне нажать кнопку "Авто", программа сформирует монтажные стадии на основании структуры проекта - столько стадий, сколько задано этажей.

      Как правило, одна стадия соответствует одному этажу. На каждой стадии происходит монтаж или демонтаж каких-то объектов - это могут быть конструкции или нагрузки. В каждую стадию входят два события - монтаж конструкций и нагрузок.

      Для каждого нового события определяется, что будет происходить - демонтаж или демонтаж, в какой момент времени это произойдёт (после какой стадии).

 

Источники для более глубокого изучения вопроса:

   А.В. Перельмутер - Беседы о строительной механике - 2016 г